昌小澤的秘密基地

人說 活到老 學到老 還真的是這樣呢
不要以為自己已經當上老師 就什麼都會
其實不會的東西還是多著呢
難怪之前有位老師告訴我們 說他在教書的前幾年做的數學問題比學生還多

就以這個問題為例
這是我在改學生習作時看到的
剛看到時 完全的愣住了 一時間還看不出個端倪來
「這樣做對嗎？」這個問題一直在心裡盤旋
自己試著代入幾個值來試 好像真的會對耶
跑去問指導老師 的確 這樣做可以得到正確答案
但是 為什麼阿? 我自告奮勇的跟老師說 我要自己試試看


其實 這個東西從除法原理來看
f(x) = (x^2 + 1)Q(x) + R(x)
當x^2 = -1時 可以讓除式為0 故可以得到餘式R(x)
但我在這裡遇到的問題是
(1) 餘式定理只能用於除式是一次式 即使是用餘式定理的精神 但還是脫離不了一次式
但(x^2+1)要帶也是 x = i 與 x = -i 為什麼可以直接代x^2 = -1
(2) 既然 x^2 用 -1 來代 那 x 呢? 為什麼 x 可以保留而不被動到
對數學來說 同一個變數為什麼可以有這樣的差別待遇
某些情況需要被換成 -1 某些情況卻不用被換掉
(3) 如果這樣子的做法是正確的
那如果除 x^2 + x + 1 時 x^2 可以用 - x - 1 來代嗎?

思考了很久還是無法得知 所以只好上網尋求學長們的協助
雖然系上數學版發問的文章不多 不過一但有人問問題 大夥總是會很熱心的提供意見
不用一天 我就得到一個很棒的說法
其實 並不是真的把 x^2 用 -1 來代 而是把 x^2 用 x^2 + 1 來代換
例如 3 x^3 = 3 x ( x^2 ) 就代換成 3 x ( x^2 + 1 )
這樣一換 沒錯 會多出個 3x 所以後面在把他剪掉 即 3 x^3 = 3 x ( x^2 ) = 3 x ( x^2 + 1 ) - 3x
注意到 -3x 可以看成 3 x ( -1 ) 就很像是 3 x ( x^2 ) 其中x^2 用 -1 來代
用這個觀點來看 就很清楚學生這樣做的背後原理是什麼了
而上面三個問題也就迎刃而解了
讓我不僅讚嘆一聲 這樣的結果 真的是很漂亮阿


回到數學教育的觀點
在自己摸索的過程中 我曾經翻過以前補習班的筆記 當中就有這樣的做法
原本想說 說不定可以找到蛛絲馬跡
但是 很抱歉 只有做法 沒有原因
回想自己高中時 好像沒有這樣的問題 為什麼到現在才有這樣的問題呢?
原本以為 可能又是個無法跟高中生解釋的東西
但得到結果之後才知道 其實是可以說的
那 為什麼沒有人說勒? 而為什麼沒有學生問呢?
這是我們學生學數學的一個重大迷思
只問可以做出來 卻不問為什麼
所以 身為一個高中老師 這方面是我們必須努力的
要不然 高中數學的學習 就只會淪於填鴨 更甭提要讓學生感受到數學的美了

謝謝mjlin的提示與Nicholas的講解
尤其是N大 果然 台大數研所的功力由此可知 (笑 或許應該說是我自己太遜了)
還有yclinpa教授所提供的高觀點
看來 有機會還是必須把代數中的多項式環再拿出來複習一下
因為最近我和指導老師又陷入令一個蠻討厭的東西 就是最高公因式與最低公倍式的定義
我們倆都知道這必須得看看在代數中怎麼去定義這兩個東西 才能解決我們目前所遇到的問題
這有機會再來談

好啦 今天就先到這裡告一段落
昌小澤的數學教室 下次見囉 下課 ^O^