之前教高二排列組合時 有兩個地方當時我覺得教的很不好
一個是「環狀排列」 另一個就是「分組分堆」
不好講的地方在於 到底時麼時候要乘 n 階層 什麼時候要除 n 階層
或甚至 為什麼這裡要乘 n 階層 這裡卻要除 n 階層
有時候 連我自己都會搞不清楚狀況 還蠻糟糕的 ><
昨天 在幫童軍團學弟解題的時候 學弟拿了一個問題來問我
那是個機率的題目 不過重點還是在排列組合
我事後想一想 覺得這個題目拿來講分組分堆的概念還蠻不錯的
題目如下
小華 小明與其他八位同學要排這一週五天的值日生
每天從還沒有當過值日生的同學中找兩位擔任當天的值日生
請問 小華和小明同一天擔任值日生的機率是多少
先講答案 答案是 我在看到這個答案時 第一個反應是...
為什麼分母不用 x 5!?
很容易的 當看到 C 的時候 就很直覺得他只有「選取」的動作
反而很容易忘記 在「相乘」的時候 就已經包含了「排序」的動作
也就是說 像分母的部分 C(10,2) x C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) 可以解讀成
「第一天從十個人中選兩個人做值日生 → 第二天從剩下八人選兩人 → ... → 最後一天從剩下的兩人選兩人」
所以裡面已經包含了「把這五堆人按照順序選取」的動作了
(注意 x 跟 → 的關係 這是根據「乘法原理」)
換句話說 如果我只是要把人分成五堆 (也就是不用管選取的順序) 那方法數就是
C(10,2) x C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 5!
把排序所造成的 5! 給拿掉
因此 分子的部分為什麼會這麼複雜 用這個方式來看就很清楚了
首先 小明跟小華已經在同一天了 所以就是剩下八個人先兩兩分成一堆
所以方法數是 C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 4! (因為沒有排序 故除以 4!)
接著 就是把這五組人排序來表示第一天到第五天 即得到
[C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 4!] x 5!
下面這題是高中常見的問題 一樣用這個方式來看 ^^
有 8 本不同的書本 求下列各分法得分法數
(1) 甲給 4 本 乙給 2 本 丙給 2 本
(2) 按照 4 本 2 本 2 本分成三堆
(3) 按照 4 本 2 本 2 本自由分給甲乙丙三人
很明顯的 每一題都一定會有 C(8,4) x C(4,2) x C(4,2) 的部分
現在的問題在於 哪些要多乘 n! 哪些要多除 m!
(1) 給書的過程是有順序的 「給甲 4 本 → 給乙 2 本 → 給丙 3 本」
所以答案直接是 C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)
(注意 x 跟 → 的關係)
(2) 只是要分堆 所以是不用考慮順序的
只是問題來了 這裡是要除 3! 還是除 2! 呢?
其實這樣想 雖然說是分 3 堆 但還是有個「順序」出來: 「這 4 本一堆 → 剩下的 2 本一堆」
所以 只有後面那 2 本 2 本是沒有順序的 所以是除以 2!
即方法數為 C(8,4) x [C(4,2) x C(4,2) / 2!]
因此 如果把八本書按照 4 本 3 本 1 本 分成三堆
他的方法數還是 C(8,4) x C(4,3) x C(1,1) 並不需要除任何東西
因為4 本 3 本 1 本還是有順序在的!!
(3) 這題可以這樣看:
(甲給 4 本 乙給 2 本 丙給 2 本) + (乙給 4 本 丙給 2 本 甲給 2 本) + (丙給 4 本 甲給 2 本 乙給 2 本)
= [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)] + [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)] + [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)]
= C(8,4) x C(4,2) x C(4,2) x 3
當然 不可能每一題都可以把所有的情況都列出來計算
所以來看一下這個 3 可以怎麼用算的把他算出來
[看法一] 把 4 本 2 本 2 本三張牌子在甲乙丙三人面前排成一列 → 把書分成 4 本 2 本 2 本分成三堆
這就是上面列的算是所用的想法
方法數: 3! / 2! x C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)
[看法二] 先把書分成 4 本 2 本 2 本分成三堆 → 請甲乙丙三人書前站成一排
這樣會用到第 (2) 的結果
方法數: C(8,4) x [C(4,2) x C(4,2) / 2!] x 3!
將上面這兩個想法所得到的式子整理一下 就可以得到一般課本或參考書所給的答案
那時教書 教到最後只好請學生直接把「結論」背下來 因為我真的也不知道要怎麼解釋才好
但當時如果有抓到 在「相乘」的時候 就已經包含了「排序」的動作 這個要點
應該就會比較容易來處理這樣的問題
不過 這只是我在回家路上自己想的 沒有實際在課堂上教過
那... 就當作是一個教學想法上的分享好了 ^^
一個是「環狀排列」 另一個就是「分組分堆」
不好講的地方在於 到底時麼時候要乘 n 階層 什麼時候要除 n 階層
或甚至 為什麼這裡要乘 n 階層 這裡卻要除 n 階層
有時候 連我自己都會搞不清楚狀況 還蠻糟糕的 ><
昨天 在幫童軍團學弟解題的時候 學弟拿了一個問題來問我
那是個機率的題目 不過重點還是在排列組合
我事後想一想 覺得這個題目拿來講分組分堆的概念還蠻不錯的
題目如下
小華 小明與其他八位同學要排這一週五天的值日生
每天從還沒有當過值日生的同學中找兩位擔任當天的值日生
請問 小華和小明同一天擔任值日生的機率是多少
先講答案 答案是 我在看到這個答案時 第一個反應是...
為什麼分母不用 x 5!?
很容易的 當看到 C 的時候 就很直覺得他只有「選取」的動作
反而很容易忘記 在「相乘」的時候 就已經包含了「排序」的動作
也就是說 像分母的部分 C(10,2) x C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) 可以解讀成
「第一天從十個人中選兩個人做值日生 → 第二天從剩下八人選兩人 → ... → 最後一天從剩下的兩人選兩人」
所以裡面已經包含了「把這五堆人按照順序選取」的動作了
(注意 x 跟 → 的關係 這是根據「乘法原理」)
換句話說 如果我只是要把人分成五堆 (也就是不用管選取的順序) 那方法數就是
C(10,2) x C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 5!
把排序所造成的 5! 給拿掉
因此 分子的部分為什麼會這麼複雜 用這個方式來看就很清楚了
首先 小明跟小華已經在同一天了 所以就是剩下八個人先兩兩分成一堆
所以方法數是 C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 4! (因為沒有排序 故除以 4!)
接著 就是把這五組人排序來表示第一天到第五天 即得到
[C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 4!] x 5!
下面這題是高中常見的問題 一樣用這個方式來看 ^^
有 8 本不同的書本 求下列各分法得分法數
(1) 甲給 4 本 乙給 2 本 丙給 2 本
(2) 按照 4 本 2 本 2 本分成三堆
(3) 按照 4 本 2 本 2 本自由分給甲乙丙三人
很明顯的 每一題都一定會有 C(8,4) x C(4,2) x C(4,2) 的部分
現在的問題在於 哪些要多乘 n! 哪些要多除 m!
(1) 給書的過程是有順序的 「給甲 4 本 → 給乙 2 本 → 給丙 3 本」
所以答案直接是 C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)
(注意 x 跟 → 的關係)
(2) 只是要分堆 所以是不用考慮順序的
只是問題來了 這裡是要除 3! 還是除 2! 呢?
其實這樣想 雖然說是分 3 堆 但還是有個「順序」出來: 「這 4 本一堆 → 剩下的 2 本一堆」
所以 只有後面那 2 本 2 本是沒有順序的 所以是除以 2!
即方法數為 C(8,4) x [C(4,2) x C(4,2) / 2!]
因此 如果把八本書按照 4 本 3 本 1 本 分成三堆
他的方法數還是 C(8,4) x C(4,3) x C(1,1) 並不需要除任何東西
因為4 本 3 本 1 本還是有順序在的!!
(3) 這題可以這樣看:
(甲給 4 本 乙給 2 本 丙給 2 本) + (乙給 4 本 丙給 2 本 甲給 2 本) + (丙給 4 本 甲給 2 本 乙給 2 本)
= [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)] + [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)] + [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)]
= C(8,4) x C(4,2) x C(4,2) x 3
當然 不可能每一題都可以把所有的情況都列出來計算
所以來看一下這個 3 可以怎麼用算的把他算出來
[看法一] 把 4 本 2 本 2 本三張牌子在甲乙丙三人面前排成一列 → 把書分成 4 本 2 本 2 本分成三堆
這就是上面列的算是所用的想法
方法數: 3! / 2! x C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)
[看法二] 先把書分成 4 本 2 本 2 本分成三堆 → 請甲乙丙三人書前站成一排
這樣會用到第 (2) 的結果
方法數: C(8,4) x [C(4,2) x C(4,2) / 2!] x 3!
將上面這兩個想法所得到的式子整理一下 就可以得到一般課本或參考書所給的答案
那時教書 教到最後只好請學生直接把「結論」背下來 因為我真的也不知道要怎麼解釋才好
但當時如果有抓到 在「相乘」的時候 就已經包含了「排序」的動作 這個要點
應該就會比較容易來處理這樣的問題
不過 這只是我在回家路上自己想的 沒有實際在課堂上教過
那... 就當作是一個教學想法上的分享好了 ^^
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謝謝 實在很受用
謝謝你的支持
不好意思，我是目前在學的高三生，想請問一下 雖然說是分 3 堆 但還是有個「順序」出來: 「這 4 本一堆 → 剩下的 2 本一堆」 這句話的意思是什麼? 分堆的前提是沒有順序的問題，那為什麼還有順序之分?
主要的問題就是你所問的「分堆的前提是沒有順序的問題，那為什麼還有順序之分?」 我這篇文章想要強調的是 解題時我們很容易把「順序」加入你的過程中但你不自覺 例如你把四本書平分成兩堆 我們的想法都是「這2本一堆 這2本令一堆」 故寫成C(4,2)*C(2,2) 但為什麼是「先」挑這2本？這裡就出現「順序」了 「我先把A,B這兩本書分在一堆 剩下的C,D一堆」 跟 「我先把C,D這兩本書分在一堆 剩下的A,B一堆」 在C(4,2)*C(2,2)的動作中是不同的 但對我們所要求的確是相同的 而這個狀況的原因 就是C(4,2)*C(2,2)的做法中 隱藏了「順序」的動作在裡面 所以我們才會除2!來把這個動作消除
对于一个高三一直对这类问题一知半解的学生，不得不说这篇文章给了我很大帮助，十分感谢！
版主其實還是搞不清楚這個問題，我來教大家吧 1. 從同一個集合裏取物，連續選取，每次取出的物數目相同時，連續選取的乘積的方法數中就包含了對調(排列) 例如，4相異物，每次取出一個，連取4次。情況數? C(4,1) * C (3,1), * C(2,1) *C(1,1) =4*3*2*1 =24, 這種乘出來就等同於4個相異物，一次取出直接排列。 2. 承上，如果第一次取出一個，第二次取出2個，第三次1個。 C(4,1) * C(3,2) *C(1,1) =4*3*1=12, 這種連乘，因為只有第一次的1個，和第三次的1個，兩者取出物的個數相同，所以對會有第一物和第三物的對調。 舉例，例設 第一次取出 a, 第二次取出bc，第三次取出了d, 那這12種方法中，就包含了另外一種相應的 d, bc, a. 也就是12中方法中，有a, d兩者次序的互調。 3. 針對連續選取的問題，最好的方式就是先全部轉為分堆 (不管三七二十一，有對調的都先除掉)，再來考慮分人。 舉例， 5異物分甲乙丙3人，甲拿2，乙拿2，丙拿1。情形多少種? 先連取 C(5,2) * C(3,2) * C(1, 1) 然後我們發現，前面都是取出2個，所以這種乘法會對調。 分堆數就變成 C(5,2)* C(3,2) *C(1,1) /2! 分好堆後，甲乙丙下去挑 C(5,2) * C(3,2) *C(1,1) /2! * 甲要挑2個的，有兩堆可挑* 乙在甲後選2個的，只剩一堆可挑* 丙進去挑一個，只有一堆可挑 答案變成 C(5,2) * C(3,2) *C(1,1) ======== 至於版主這邊小華小明的題目 分母是 C(10,2) *C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2) ，從每次選取都是2個，所以知道這五群會含對調，也就是有排列 分子呢，小明小華要在一起，五天內選一天。方法數5。其他八人，依其他四天，C(8,2)*C(6,2)*C(4,2)*C(2,2), 也是連續選取，個數相同，含對調。 分母含對調，分 子也含對調。相除得機率很合理。 以上By Albert 02/01/2023.
版主，我上面留言第一句話不太客氣，抱歉。