昌小澤的秘密基地

在高中 我們是利用三角函數的方式來證明海龍公式
其證明過程 雖然說蠻直觀的
直接利用面積公式 1/2 * b * c * SinA
然後利用於弦定理硬湊 湊出我們要的形式
但在海龍(Heron, 約西元1世紀人)那個年代 幾何證明幾乎都是依循著幾何原本的格式
換句話說 海龍隊這個公式的證明 與我們現在所見的不同
但因為他所用到的所有定理 除了都在幾何原本裡都可以找得到外
都是我們在國中就學過了的東西 所以 值得一看

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證明：若三角形ABC中 BC = a (這表示AB線段長為a), AC = b, AB = c
令 s = 1/2 * ( AB + BC + AC ) (剛剛才發現 這邊多打了一個 * r)
則三角形ABC的面積 = 根號( s * ( s - a ) * ( s - b ) * ( s - c ) )



取G點為三角形ABC的內心 D,E,F為內切圓與三邊的切點
連接 AG, BG, CG, DG, EG, FG
可得 DG垂直AB, EG垂直BC, FG垂直AC 且 DG = EG = FG = 內切圓半徑 r
因此 三角形AGB面積 = 1/2 * AB * r, BGC面積 = 1/2 * BC * r, AGC面積 = 1/2 * AC * r
故 三角形ABC面積 = 1/2 * ( AB + BC + AC ) * r = 1/2 * ( AB + BC + AC ) * EG
[ 在這裡用 EG 長度來代替 r 這樣之後會比較容易看出結果 ]

作 BH = AD (H,B,C 共線)
[ 在這裡 我們要把 s = 1/2 * ( AB + BC + AC ) 的長度給做出 ]
因為AG是角DAF的分角線 又角ADG = 角AFG = 90度
所以 三角形ADG 和 三角形AFG 全等 故 AD = AF
同理 BD = BE , CE = CF
所以 CH = BH + BE + CE = AD + BE + CE = 1/2 * ( AB + BC + AC ) ] = s
[ 除此之外 BH = CH - BC = ( s - a ), BE = CH - BH - CE = CH - AF - CF = ( s - b )
CE = CH - BH - BE = CH - AD - BD = ( s - c ) ]
因此 三角形ABC面積 = 1/2 * ( AB + BC + AC ) * EG = CH * EG
=> (ABC面積)^2 = (CH)^2 * (EG)^2

[ 從上面的情形可以知道 我們要證明的是
(CH)^2 * (EG)^2 = (ABC面積)^2 = s * (s-a) * (s-b) * (s-c) = CH * BH * BE * CE ]
作 GL垂直CG, BL垂直BC 因此可知 BGCL四點共圓
故 角CGB + 角CLB = 180度 .............................................................................(1)
因為 三角形ADG 和 三角形AFG (上面証過了) 所以 角AGD = 角AGF
同理 角BGD = 角BGE, 角CGE = 角CGF 故 角CGB + 角AGD = 180度..............................(2)
由(1)和(2)可以知道 角AGD = 角CLB 又 角ADG = 角CBL = 90度
故 三角形ADG 相似於 三角形CBL
因此 BC / BL = AD / DG = BH / EG ( 因為 AD = BH, DG = EG = r )
=> BC / BH = BL / EG = BK / KE ( 第二個等號的原因: 三角形BKL 相似於 三角形EGL )
故 CH / BH = (BC + BH) / BH = BC / BH + 1 = BK / KE + KE / KE = (BK + KE) / KE = BE / KE
=> (CH * CH) / (BH * CH) = (BE * CE) / (KE * CE) = (BE * CE) / (EG)^2
[ 因為 因為 三角形CGE 相似於 三角形GKE 所以 CE / EG = EG / EK => KE * CE = (EG)^2 ]
因此 (CH)^2 / (BH * CH) = (BE * CE) / (EG)^2 => (CH)^2 * (EG)^2 = CH * BH * BE * CE
故 三角形ABC面積 = 1/2 * ( AB + BC + AC ) * EG = CH * EG
= 根號( CH * BH * BE * CE ) = 根號( s * ( s - a ) * ( s - b ) * ( s - c ) )
故得証 #

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應該有寫的詳細吧
不過從這邊可以看出古希臘人在數字與幾何量之間的轉換 可以說是非常的純熟
像最後這一段 經過幾個相似形把這些數值相乘的關係給找出 真是讓我嘆為觀止
因為我第一次看時 差點看不懂他在作什麼
回想現在三角函數的證明 就沒有這麼的漂亮的 (硬湊的成分比較重)
不過每個證明都有他的優缺點 看看不同的證明 對這個定理的感受會更多