昌小澤的秘密基地

昨天是段考前一天 讓學生自習 有問題的就拿到前面來問
有一個學生問這樣的問題
「與平面 x + 2y + 3z = 1 平行的平面 若其截距和為11 試求該平面」
我的做法是 先假設要求的平面方程式為 x + 2y + 3z = d
接著把他寫成截距式 先同除 d 得到 x/d + 2y/d + 3z/d = 1 ... (1)
接著在整理成截距式的樣子 x/d + y/(d/2) + z/(d/3) = 1 ... (2)
所以三個軸的截距分別為 d, d/2, d/3
故可得截距和 = d + d/2 + d/3 = 11 => d = 6


學生問的問題讓我很震驚
「為什麼平面可以設成 x + 2y + 3z = d?」
這是因為兩個平面平行的關係
「為什麼不可以把平面假設成 ax + by + cz = d」
可以阿 接著利用這兩個平面平行 兩者的法向量平行 所以得到 a : b : c = 1 : 2 : 3
所以可以假設成 1x + 2y + 3z = d
「那個不是比例嗎?」
ok 那你由這個比例可以假設 a = k, b = 2k, c = 3k
因此可以得到 kx + 2ky + 3kz = d 同除 k 得到 x + 2y + 3z = d/k
因為 d 和 k 都是未知數 所以就可以直接把他假設成另一個變數

=到這裡都還好 接下來就恐怖的=

「截距式是什麼東西?」
如果說你知道你的平面和 x 軸交於 (a,0,0) 則我們說 x 軸截距為 a
平面和 y 軸交於 (b,0,0) 則我們說 y 軸截距為 b
平面和 z 軸交於 (c,0,0) 則我們說 z 軸截距為 c
則這個平面的方程式可以被假設成 x/a + y/b + z/c = 1
「那為什麼這裡的截距都一樣? (指著式(1))」
這裡還不是截距式 截距式分子的部分一定得是 x, y, z 式(2)才是截距式
「那為什麼式(2)的分母是 d, d/2, d/3 而不是 a, b, c」
@@?
「截距式不是 x/a + y/b + z/c = 1 嗎?」
對阿
「那為什麼要假設截距式為 x/d + y/(d/2) + z/(d/3) = 1 呢?」
這是因為從我們對平面的假設而推導出來的阿
「那截距式是要做什麼的?」

=從這裡開始進入無窮迴圈 他說不清楚他的問題 我找不到他的問題出在哪裡=
=5分鐘後 我們兩個人都呈半放棄狀態 終於 出現決定性的句子=

「為什麼我不能說他的截距式是 x/1 + y/2 + z/3 = 1?」
你那個 1, 2, 3 是怎麼來的?
「不是說平面要假設成 x + 2y + 3z = 1 嗎? 那為什麼不能說截距式是 x/1 + y/2 + z/3 = 1?」
哪泥 @@?
「不是說截距式是 x/a + y/b + z/c = 1 嗎?」


到這裡 我終於知道他的問題在哪裡了
他把平面一般式 ax + by + cz = d 與截距式 x/a + y/b + z/c = 1 的 a, b, c 弄混了


事後想想 這兩個東西差很多耶 怎麼會搞混呢?
可能有兩個原因
一個是他對代數數的認知還是有問題
(但這問題應該在國中就要解決 還是這跟九年一貫暫綱的簡化有關?)
二是他在學習這些東西的時候 只記結果 而沒有去了解他的原因
如果有了解原因 應該不至於會把法向量 (a, b, c) 與截距 a, b, c 混為一談


但現在的感覺 學生只希望你跟他講怎麼做最快就好 基本的東西都不在乎
上課的時候強調在強調 基本的觀念很重要 也花了不少時間想把他交代清楚
(所以我時常上不完 ><)
但有在聽的學生 真的沒幾個
然後做題目的時候 隨邊抓公式就隨便套 錯了才來問你為什麼不能這樣做
但只要從基本的觀念去想 很清楚的就會發現這樣做根本不正確
(這個做法符合那個題目 不一定就符合這個題目阿!)


再加油吧...