昌小澤的秘密基地

下了組長之後 除了上課和處理協行的事情之外
大部分的時間都待在教師辦公室
中山是同一科老師的辦公室會在一起
所以有了很多時間可以跟其他的老師討論 有時光聽老師們討論也就可以學到很多東西
對應到教學上的改變就是 處理某些內容時會變得比較細膩
但也因此發現很多我之前教書時沒有注意到的問題
像是... 我到今年才知道 「國中沒有教過三次方根」
我對不起前幾年被我教到的學生(掩面)

上一週我教到絕對值的不等式
根據和其他老師聊天時所得到的情報
學生對於什麼時候用「且」 什麼時候用「或」時常會搞不清楚
所以我一開始就決定來玩玩他們

第一個例題: |x| = 0 時，|x| = x x x > -3
然後我就問學生 『這樣兩個情況 是要用「且」還是「或」來連結呢?』
同學們「毫不考慮」「毫無懸念」「異口同聲」的說 「且」
當下的確是被這麼有志一同的回答給嚇到 但仔細想想其實也不難理解
有補習的學生都知道 這一題的答案是「-3 -3 並沒有把他完成
所以要得到「-3 = 0 的條件之下
所以 正確來說 第(1)個情況得到的答案應該要考慮 x >= 0 與 x = 0 時，|x| = x x ，故在此情形下 x >= 0 且 x
(2) 當 x x > -3，故在此情形下 x -3，得到 -3
(3) 考慮上面兩個情況，答案為 0
這樣才是正確的做法

講到這樣分情況時為什麼是用「或」來連接 這邊提供一個想法 (因為剛想到 所以還沒有試過 XD)
假設我們現在要做的是 |班上同學 x 的身高| 3
(1) 當 x >= 0 時，|x| = x > 3 => x > 3
(2) 當 x 3 => x 「毫不考慮」「毫無懸念」「異口同聲」的說 「或」(果然跟我想的一樣)
我就問了 『為什麼同樣的做法 但上一題是用「且」 這一個卻是用「或」呢?』
『難道 在處理這個問題時 我們還要特別去判斷什麼時候用「且」 什麼時候用「或」嗎?』

在全班沉思了約一分鐘後 突然有個學生說了一個全班都認同的答案：
『第一題 因為 x -3 有相交 所以是用「且」

而第二題 x > 3 與 x 』
OMG~ 這是什麼「神理解」? 聽到的當下我整個在講台上愣了5秒鐘
根本就是「拿答案去套原因」啊!!!!!

下了課後 我開始在想
有沒有哪個例子是學生使用這樣的想法會做錯的問題
這是我這幾年的發現~
如果你直接告訴他們這樣做是錯的 他們不見得聽得進去
一定要它們覺得「怪怪的」 才能逼他們去思考 問題出在哪裡
就像上面我拿 |x| 3 給他們比較一樣

對目前所學到的東西來說 這個例子不好找
後來想到一個有趣的例子: |x| > -1
如果按照學生的想法來做 會是這樣
(1) 當 x >= 0 時，|x| = x > -1 => x > -1
(2) 當 x -1 => x -1 與 x -1 且 x
這時候就可以問他們
那 x = 2 時有沒有符合不等式? x = 10 呢? x = -100呢?
為什麼這些答案都沒有被包含在我們算出來的「-1 [結論]
(1) 關於「或」跟「且」的概念
我之前都太在著重於
「A 或 B」的意思是「只要 A 正確或 B 正確」 則這個敘述就是正確的
「A 且 B」的意思是「A 和 B 都要是正確的」 這個敘述才能算是正確的
但 對學生來說 做數學問題會用到「或」跟「且」的時候 好像都不是上面談到的狀況
反而比較需要的是
A 正確時會得到某些結論，B 正確時也會得到某些結論
「A 或 B」指的是「A 正確時的結論 與 B 正確時的結論 我們都要」
「A 且 B」指的是「A 正確時的結論 與 B 正確時的結論 我們取共同的部分」
(就是把它當作集合來處理)

(2)「拿答案去套原因」這會不會就是學生學不好數學的其中一個原因?
之前我一直有個想法 就是應該可以試著讓學生自己去建構屬於自己的數學知識
但經過這一次 我開始有點擔心
如果老師做的功課不夠 沒有抓到學生這些盲點
學生自己建構出來的想法 會不會其實錯得很離譜但卻沒有被發掘呢?
想想自己大學念高等微積分
很多概念都是在做習題時發現不對 然後修正 修正 再修正
甚至常常會恍然大悟 「原來我之前的觀念是錯誤的!!」 整個打掉重練
但 對一個高中生來說 當他的想法可以拿來應付絕大多數的問題時 他會認為自己的觀念是錯誤的嗎?
這樣 感覺 好危險 >