昌小澤的秘密基地

「Uniform convergence(均勻收斂)」這個名詞我從大二唸高微以來就從來都沒有弄懂過
我一直無法想像把一堆函數收斂到另一個函數到底是個怎樣的情形
只記得考研究所前有把這幾個名詞再從唸一次 但只是唸來考試用 沒有懂
現在唸複變又遇到他了 所以花了一個下午來好好的把他給弄懂來
其實他是一整套一連貫的東西 只是以前把他分的太詳細
看不出這一套東西之間的關係 所以就一直處於搞不清楚的狀態



既然跟收斂有關 所以我還是從基本的點列收斂開始

(1) 數列的收斂 (convergent sequence)
令數列{p_n}是一個無窮數列
我們說數列{p_n}收斂到p_0 這表示
對所有的正數ε, 都存在一個正數N_0=N(ε), 使得當n>=N_0時, |p_n-p_0|<ε

(2) 函數的收斂 (convergent function)
令f:X->Y的函數, 且p_0是X上的一個limit point, w_0是Y上的一個點
我們說函數f(p_0)收斂到w_0 這表示
對所有的正數ε, 都存在一個正數δ=δ(ε,p_0), 使得當|p-p_0|<δ時, |f(p)-w_0|<ε

(3) 函數的連續 (continuous function)
令f:X->Y的函數, 且p_0是X上的一個limit point
我們說函數f在p_0上連續 這表示
對所有的正數ε, 都存在一個正數δ=δ(ε,p_0), 使得當|p-p_0|<δ時, |f(p)-f(p_0)|<ε

(4) 函數的均勻連續 (uniformly continous function)
令f:X->Y的函數
我們說函數f在集合X上均勻連續 這表示
對所有的正數ε, 都存在一個正數δ=δ(ε), 使得X上任意兩點p_1和p_2,
只要|p_1-p_2|<δ, |f(p_1)-f(p_2)|<ε

我覺得我之前之所以一直沒有把這整個系統給弄清楚的原因 就是沒有弄清楚(2)和(3)的關係
很清楚的 若一個函數在p_0連續 則這個函數一定在p_0收斂
所以連續和收斂的關係不如我之前所認為的如此遙遠
也因此 均勻連續在某種意義之下也可以看成是「均勻收斂」
當然 這樣使用「均勻收斂」這個辭並不正確
但用這樣的角度看「均勻收斂」 整件事情卻會變的很有趣



開始進入正題 接下來要討論的東西不是單一的函數 而是一個函數序列(sequence of function)
在單一函數的情形之下 我們先定義了逐點連續(3)的情形
接著我們利用δ的選取 讓每一個點都可以達到我們所要求的狀況 而成為均勻連續(4)
把同樣的想法推廣到函數序列的收斂情形
我們會先定義出一個函數序列的逐點收斂情形 接著利用某個變數的選取來達到均勻的條件

(5) 函數序列的逐點收斂 (pointwise convergence of sequences of functions)
若f_n:X->Y是一組函數, p_0屬於X, w_0屬於Y
考慮這樣的點列{f_1(p_0), f_2(p_0), f_3(p_0), ... ,f_n(p_0), ...}
如果這樣的點列收斂到w_0 則稱「函數序列f_n在p_0的地方收斂到w_0」
而利用(1)的符號來寫 就成了
對所有的正數ε, 都存在一個正數N_0=N(ε,p_0), 使得當n>=N_0時, |f_n(p_0)-w_0|<ε
接著我們考慮這樣的一個函數f:X->Y
其中f(p_0)=點列{f_1(p_0), f_2(p_0), f_3(p_0), ... ,f_n(p_0), ...}的收斂値=w_0
則我們說「函數序列f_n逐點收斂到f (sequence f_n convergens pointwise to f on X)」
用符號寫就成了
對所有的正數ε, 都存在一個正數N_0=N(ε,p_0), 使得當n>=N_0時, |f_n(p_0)-f(p_0)|<ε

你看吧 這樣的轉變真的很像從(2)到(3) 也就是從收斂到連續的過程
所以我們也才可以利用前面推到均勻連續(4)的方式 把逐點收斂(5)推到均勻收斂(6)
這裡有一個東西要強調一下 就是在(5)中用藍色標出來的部分 我覺得是跨過這整個東西的門檻
也就是說 雖然我們最後的結論是把一堆函數「收斂到一個函數」
但實際上 還是點到點的關係 p_0到w_0
只是之前是在p_0這邊的X集合內找關係 現在是在w_0那邊的Y集合內找關係
也就是先把所有的東西都打到Y集合後 再來找收斂的情形
也因此 把所有X裡的東西都打到Y之後 自然就形成了一個新的函數關係f
想通了 其實也就只是這樣而已

最後把均勻收斂給補上
(6) 函數序列的均勻收斂 (uniformly convergence of sequences of functions)
若f_n:X->Y是一組函數
我們說函數序列f_n在X集合內均勻收斂到f 這表示
對所有的正數ε, 都存在一個正數N_0=N(ε), 使得對每一個X裡的點p_0,
當n>=N_0時, |f_n(p_0)-f(p_0)|<ε