下了組長之後 除了上課和處理協行的事情之外
大部分的時間都待在教師辦公室
中山是同一科老師的辦公室會在一起
所以有了很多時間可以跟其他的老師討論 有時光聽老師們討論也就可以學到很多東西
對應到教學上的改變就是 處理某些內容時會變得比較細膩
但也因此發現很多我之前教書時沒有注意到的問題
像是... 我到今年才知道 「國中沒有教過三次方根」
我對不起前幾年被我教到的學生(掩面)

上一週我教到絕對值的不等式
根據和其他老師聊天時所得到的情報
學生對於什麼時候用「且」 什麼時候用「或」時常會搞不清楚
所以我一開始就決定來玩玩他們

第一個例題: |x| < 3
上課時我是這樣來處理的
(1) 當 x >= 0 時,|x| = x < 3 => x < 3
(2) 當 x < 0 時,|x| = -x < 3 => x > -3
然後我就問學生 『這樣兩個情況 是要用「且」還是「或」來連結呢?』
同學們「毫不考慮」「毫無懸念」「異口同聲」的說 「且」
當下的確是被這麼有志一同的回答給嚇到 但仔細想想其實也不難理解
有補習的學生都知道 這一題的答案是「-3 < x < 3」
而我又故意只寫到 x < 3 與 x > -3 並沒有把他完成
所以要得到「-3 < x < 3」這個答案 勢必要用「且」才能得到

第一個班 我在這裡就做了處理
一來告訴他們 當我們分狀況討論時 是要用「或」來做聯結
再來 雖然我們在第(1)個情況下得到 x < 3 這個答案 但這是在 x >= 0 的條件之下
所以 正確來說 第(1)個情況得到的答案應該要考慮 x >= 0 與 x < 3 這兩個條件
因此 應該改為
(1) 當 x >= 0 時,|x| = x < 3 => x < 3,故在此情形下 x >= 0 且 x < 3,得到 0 <= x < 3
(2) 當 x < 0 時,|x| = -x < 3 => x > -3,故在此情形下 x < 0 且 x > -3,得到 -3 < x < 0
(3) 考慮上面兩個情況,答案為 0 <= x < 3 或 -3 < x < 0 也就是 -3 < x < 3
這樣才是正確的做法

講到這樣分情況時為什麼是用「或」來連接 這邊提供一個想法 (因為剛想到 所以還沒有試過 XD)
假設我們現在要做的是 |班上同學 x 的身高| < 160 公分
那我們分成下面兩種情況來討論: x 是男生跟 x 是女生 (不過本校是純女校 要再來想想要怎麼分 XD)
(1) 當 x 是男生的時候,請身高大於 160 公分的男生起立 (這裡也包含了「男生且160公分」的條件)
(2) 當 x 是女生的時候,請身高大於 160 公分的女生起立
這時候問學生 這些起立的同學是不是都是我們要的答案?
如果是的話 那我們是用「或」來連結這兩組人 還是要用「且」呢?

不過 到第二個班 我就沒有馬上做更正
(兩個班都是立馬回答「且」 由此可知這個部份真的是個大問題)
而是直接進到下一個例題: |x| > 3
(1) 當 x >= 0 時,|x| = x > 3 => x > 3
(2) 當 x < 0 時,|x| = -x > 3 => x < -3
同樣的 我問學生 『這樣兩個情況 是要用「且」還是「或」來連結呢?』
同學們也同樣的「毫不考慮」「毫無懸念」「異口同聲」的說 「或」(果然跟我想的一樣)
我就問了 『為什麼同樣的做法 但上一題是用「且」 這一個卻是用「或」呢?』
『難道 在處理這個問題時 我們還要特別去判斷什麼時候用「且」 什麼時候用「或」嗎?』

在全班沉思了約一分鐘後 突然有個學生說了一個全班都認同的答案:
『第一題 因為 x < 3 與 x > -3 有相交 所以是用「且」
20130919_01
而第二題 x > 3 與 x < -3 沒有相交 所以是用「或」
20130919_02

OMG~ 這是什麼「神理解」? 聽到的當下我整個在講台上愣了5秒鐘
根本就是「拿答案去套原因」啊!!!!!

下了課後 我開始在想
有沒有哪個例子是學生使用這樣的想法會做錯的問題
這是我這幾年的發現~
如果你直接告訴他們這樣做是錯的 他們不見得聽得進去
一定要它們覺得「怪怪的」 才能逼他們去思考 問題出在哪裡
就像上面我拿 |x| < 3 與 |x| > 3 給他們比較一樣

對目前所學到的東西來說 這個例子不好找
後來想到一個有趣的例子: |x| > -1
如果按照學生的想法來做 會是這樣
(1) 當 x >= 0 時,|x| = x > -1 => x > -1
(2) 當 x < 0 時,|x| = -x > -1 => x < 1
(3) 因為 x > -1 與 x < 1 有相交,所以答案是 x > -1 且 x < 1 即 -1 < x < 1
20130919_03
這時候就可以問他們
那 x = 2 時有沒有符合不等式? x = 10 呢? x = -100呢?
為什麼這些答案都沒有被包含在我們算出來的「-1 < x < 1」之內呢?
下一個班來試試這樣玩好了

[結論]
(1) 關於「或」跟「且」的概念
我之前都太在著重於
「A 或 B」的意思是「只要 A 正確或 B 正確」 則這個敘述就是正確的
「A 且 B」的意思是「A 和 B 都要是正確的」 這個敘述才能算是正確的
但 對學生來說 做數學問題會用到「或」跟「且」的時候 好像都不是上面談到的狀況
反而比較需要的是
A 正確時會得到某些結論,B 正確時也會得到某些結論
「A 或 B」指的是「A 正確時的結論 與 B 正確時的結論 我們都要
「A 且 B」指的是「A 正確時的結論 與 B 正確時的結論 我們取共同的部分
(就是把它當作集合來處理)

(2)「拿答案去套原因」這會不會就是學生學不好數學的其中一個原因?
之前我一直有個想法 就是應該可以試著讓學生自己去建構屬於自己的數學知識
但經過這一次 我開始有點擔心
如果老師做的功課不夠 沒有抓到學生這些盲點
學生自己建構出來的想法 會不會其實錯得很離譜但卻沒有被發掘呢?
想想自己大學念高等微積分
很多概念都是在做習題時發現不對 然後修正 修正 再修正
甚至常常會恍然大悟 「原來我之前的觀念是錯誤的!!」 整個打掉重練
但 對一個高中生來說 當他的想法可以拿來應付絕大多數的問題時 他會認為自己的觀念是錯誤的嗎?
這樣 感覺 好危險 ><

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