昌小澤的秘密基地

上一篇 我們介紹了三種自然底數 (或稱為尤拉常數) e 的定義
但如果一開始不說
其實還蠻難想像從這樣三個完全不同方向所得到的值 竟然會是一樣的
因此 接下來我要談的是
「這三種完全迥異的定義方式所定義出來的 e, 我們是怎麼肯定他們是 "相同" 的」

其實它的證明 在微積分課本裡 就只是定理後面的例題或作業 其實並不難
只是 微積分是以式 (2) 當作自然底數 e 的定義
因此會看到的是式 (1) 與式 (3) 的值剛好皆為 e 的證明
但我覺得 如果只有這樣 會讓人覺得式 (1) 與式 (3) 的結果是依附在式 (2) 這個定義之下
所以 在後面我會花點力氣來說說 如何從式 (1) 或式 (3) 出發來得到另外兩個

還有一件事情要寫在前面
就是下面的證明過程中 其實會用到不少微積分 (或高等微積分) 裡的定理
在為了保持可讀性與易讀性的原則下
請原諒我 "忽略" 介紹他們 並且直接使用該定理
或者用比較 "直覺" 的方式來解釋他們

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現在 我們以式 (2) 為自然底數 e 的定義
開始來解釋式 (1) 的極限值真的是由式 (2) 所定義出來的 e
我們要考慮的是下面數列的極限 實際上 我們沒有辦法直接得到數列 {a_n} 的極限值
而是要藉由知道 {ln (a_n)} 的極限值後 反推而得
過程如下:
因為 故根據羅必達法則可以得到 {ln (a_n)} 的極限值為 1: 又自然底數 e 的定義是 e = ln^-1 1
也就是說 若 ln x = 1, 則 x 的值就是 e
因此可由 {ln (a_n)} 的極限值為 1 得知 {a_n} 的極限為 e
(或這樣想 因為 {a_n} 的極限為 e 所以才能使 {ln (a_n)} 的極限值為 1)
Q.E.D.

要說明式 (3) 中無窮級數和的值為 e 其實很簡單
就只是對指數函數 e^x 做泰勒展開式後 代 x = 1 即可得到
唯一的問題就只是 如何由式 (2) 的定義得到 e^x 的導數
其方法我在上一篇有提到 這裡再做一遍: 有了 e^x 的導數還是 e^x 的結論後 剩下的 就只是去套泰勒展開式罷了:
考慮 f(x) = e^x 在 x = 0 處的泰勒展開式 因為這個幂級數的收斂範圍為整個實數
因此可以令 x = 1 代入而得到式 (3) Q.E.D.
(不過 說實在的 上面的做法與其說 "得到這個無窮級數的值為 e"
不如應該說 是 "e 藉由泰勒展開式可化為這個無窮級數" 還比較貼切 ^^|||)

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以上是微積分課本的觀點 (以式 (2) 為自然底數 e 的定義)
下面我們要以另外兩個式子分別當作 e 的定義 來說明他們互相還是相同的
只是不論是以式 (1) 還是以式 (3) 當作 e 的定義
要注意的事情是 此時對數函數 ln x 的底數 "不見得" 是這樣定義出來的 e !!
也就是說 我們想要去證明的就是 以 e 為底的對數函數 log_e x = ln x 那要怎麼證明這件事?
因為我們對 ln x 的定義是 (請見上一篇) 換句話說 ln x 的導函數是 1/x 所以 如果我們能得到 log_e x 的導函數也是 1/x
這也就表示 log_e x 和 ln x 是兩個相同的對數函數
(其實還差一個常數 但只要代值進去看 就會發現這個常數為 0)
也因此對數函數 ln x 的底數的確是由式 (1) 或式 (3) 所定義出來的 e
所以 下面在證明式 (2) 的時候 我們就是用這樣的方式來看

現在我們就以式 (1) 當作 e 的定義 來證明 log_e x 的導函數也是 1/x
其實就是利用導函數最原始的定義來做就行了:
令 f(x) = log_e x, 所以
要以式 (3) 為 e 的定義來得到式 (2) 的結果
無法像上面直接用導函數的定義
所使用的方法是先找到 e^x 的導函數 再去找 log_e x 的導函數
令 所以 e^x 的導函數為 故根據隱函數微分法 可以得到 log_e x 的導函數為 1/x:

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那式 (3) 和式 (1) 怎麼互通呢? 這是高等微積分裡一個很重要的定理:

(Principles of Mathematical Analysis, 3^th, Walter Rudin)
我們來看看這個證明: (下面的證明有一點瑕疵 這個後面再來解釋)
我們考慮下面兩個數列 我們對 t_n 做二項式展開 得到 接著拿 t_n 與 s_n 的每一項做比較 可以簡單得到 因此 兩邊同時對 n 取極限 可以得到 On the other hand, 我們先選定隨意的一個數 m
故當 n 取得比 m 大時 由式 (5) 可以推得 (即右半邊只加到第 m 項就對了)
故兩邊同時對 n 取極限 (m 我們固定不動) 就會有 注意到右半邊剛好是 s_m
即 "數列 {t_n} 的極限比 {s_m} 裡的「每一項」都還要大 (因為 m 是隨意選的一個數)"
因此 即使我們對 {s_m} 取極限 其極限還是會比 {t_n} 的極限小
所以我們得到 合併式 (6) 與式 (8) 的結果 就會得到
簡單講一下上面證明的瑕疵
但因為會用到高等微積分的東西 所以如果沒有想要深入追究的話 這一段是可以跳過的
上面證明有一個很嚴重的問題 在式 (6) 和式 (7) 的地方
以式 (6) 來說 因為 {t_n} 每一項都比 {s_n} 小 所以我們說 {t_n} 的極限比 {s_n} 小
但一個重要的問題是 如果 {t_n} 本身不收斂 就完全沒有式 (6) 的關係了!!
所以 正確的說法應該是 limsup t_n 而不是 lim t_n
同樣的理由 式 (7) 應該要改為 liminf t_n 才是正確的
因此 最後得到的是 而因為一個數列的 limsup 和 liminf 指向同一個值
根據兩者的定義 我可以同時得到 "數列 {t_n} 收斂" 而且 "其極限值為共同值 e"
至於 什麼是 limsup 跟 liminf ?
這就容我不在這裡多說了 要不然會寫不完啊~~~

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後記:
從開始想寫這一篇文章 到 今天真的寫完 花了將近 1 個半月
其實 上面那些證明對我來說都很容易找得到且容易看得懂
但想到要寫得讓大部份的人可以看得懂 這真的讓我傷透腦筋
此外 再寫上篇的時候 一邊寫才一邊發現
有不少東西 我只是有 "印象" 但從來沒有深究過
因此把那些資料翻出來重讀了好幾次 才敢把他寫出來
再加上工作的關係 就只能每個週末挪一點時間出來寫
這下篇就是這樣接力寫了四個星期才完成
很辛苦 但很有成就感
尤其是看到上篇一個月就將近 100 人點閱
我相信這樣的文章 對某些人是有幫助的
這樣 我就開心了 ^^

參考資料:

Thomas' Calculus, 10^th, Finney, Weir, Giordano

Principles of Mathematical Analysis, 3^th, Walter Rudin

毛起來說 e, Eli Maor, 鄭惟厚 譯 (之前沒有注意到 一直以為鄭惟厚只翻譯統計類的書 XD)

高觀點下的初等數學 第一卷, Felix Klein, 舒湘芹 陳義章 楊欽樑 譯

e (數字常數), 維基百科