這個問題困擾我很久:
"若 x + 2 = 4, 則 x = 2 或 x = 3" 這樣的敘述是否正確?
會這樣想的原因是 "或" 在邏輯上的意思不就是 "只要有一個是正確的 整個敘述就會是對的"
因此 上面的敘述看起來應該是對的
但我們都知道 在考試時這樣作答是錯誤的!
(即在回答 x + 2 = 4 的解時 只能回答 x = 2 而不可以是 x = 2 或 x = 3)

或許你會說 怎麼會有人這樣作 這擺明是來找碴的
哪我換個更實際的問題
"若 x > 0, 則 x2 - 4 = 0 時, x 的值為何?"
如果答案寫 "x = 2 或 x = -2" 到底算不算是錯的呢?
老師都告訴我們這樣寫不對 (答案只有 x = 2)
但根據上面的說法 又好像可以這樣作 ("或" 就是只要一個對就行了)
問題是出在哪裡? 是老師蠻橫? 還是邏輯上真的是有問題的?

一開始我以為是邏輯上的問題
也就是說 "x + 2 = 4 => x = 2 或 x = 3" 這樣的敘述是錯誤的
只是 真的開始想的時候 發現到我完全不知道怎麼下手
S 建議我從真值表來看:
  x 的值    p: x + 2 = 4    q: x = 2 或 x = 3     p -> q  
x = 2 T T T
x = 3 F T T
else F F T
做完發現一個很慘的事情:
"x + 2 = 4 => x = 2 或 x = 3" 是一個 "恆真式"
也就是說 這樣的推論是 "完全正確的"!!
我整個傻眼了

把邏輯的書拿了出來 希望能從中找到我所忽略的東西
翻來翻去找到了 "推論 (implies 或稱為蘊含)" 的定義:
"令集合 A 是所有符合敘述 p 的元素所成的集合 集合 B 是所有符合敘述 q 的元素所成的集合
如果 A 是 B 的子集合 則我們可以從敘述 p 推演出敘述 q 即 p => q"
試試看
敘述 p: "x + 2 = 4" 故集合 A = { 2 }
敘述 q: "x = 2 或 x = 3" 故集合 B = { 2, 3 }
慘! 集合 A 真的是集合 B 的子集合
所以 "x + 2 = 4 => x = 2 或 x = 3" 是 OK 的
我無計可施了...

上週六 剛好成功高中補課
我回去找了實習時的指導老師聊天 也順便問了這個問題
我和師傅兩個人討論了很久
突然發現 這個敘述就只是 "怪" 而已 邏輯上是完全正確的!!
舉個例子你就能明白了:
"x + 2 = 4 => x 是一個整數"
我想 這樣的推論不會有人覺得很奇怪吧
但 "x 是整數" 可是比 "x = 2 或 x = 3" 的範圍還要廣啊!
所以 這個敘述就只是看起來很怪 很不習慣 但卻是完全正確的推論

那考試時真的就可以這樣寫嗎? 想想還蠻噁心的
題目問 x + 2 = 4 的解為何? 你回答 x 是一個整數
這... 太狠了!
所以 不能讓學生有機會這樣作 (XD)
那 問題到底是出在哪裡?

後來師傅突然想到問題的癥結
問題不是在 "邏輯" 而是在 "定義"
"方程式解" 的定義

何謂方程式 x + 2 = 4 的解?
"在 x = a 的條件下, 使得 x + 2 = 4 等號成立, 即稱 x = a 為 x + 2 = 4 的解"
也就是說 當我們在看方程式的解時
不是 "x + 2 = 4 => x = ..." 而是要反過來 "x = ... => x + 2 = 4 成立"
因此 當我們說 "x + 2 = 4 的解為 x = 2 或 x = 3" 這句話的意思是:
"(x = 2 => x + 2 = 4 成立) 且 (x = 3 => x + 2 = 4 成立)"
很明顯 "x = 3 => x + 2 = 4 成立" 是錯的
所以我們不能說 "x + 2 = 4 的解為 x = 2 或 x = 3"!!

搞了半天 原來是定義上的問題
但經過這樣的討論 對邏輯上 "或" 的作用 以及 "推論" 的效力 有了重新的認識
只是去想這樣的問題 並不是想要之後去刁難學生
(學生對邏輯的恐懼 從要求他判斷 "如果太陽從西邊升起, 則 1 + 1 = 3" 的真偽就可以知道有多恐怖)
而是希望藉由這樣的討論 去看清楚問題的癥結 更清楚的知道這個東西是要怎麼用
就像之前我所寫的那篇 "根號三是無理數" 一樣
經由這樣的討論 讓我們更清楚的知道 "邏輯" 在證明中所代表的意義
以及我們證明了一個敘述的對的後 他所代表的意義是什麼 ("敘述正確" 跟 "真的會發生" 是兩回事)
讓我們在 "邏輯" 的使用上 能更加小心避免發生這些困惑
這才是我寫這篇文章的主要用意

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留言列表 (3)

發表留言
  • 38th某騎士小隊員
  • 哇.....阿昌好強 XD

    原來數學也有有趣的一面~
  • 呵呵 我沒想到連你們也知道這裡 XD
    可以說說 這篇文章哪裡讓你覺得 "原來數學也有有趣的一面" 嗎?
    我很好奇 ^^

    昌小澤 於 2010/04/10 00:24 回覆

  • 訪客
  • 謝謝你,幫助很大!
  • 訪客
  • truth table 最後一個column應為 p <-> q
    方程式與解之間的關係應該是 if and only if