前言
這次高等幾何的期末考, 考了一個跟圓切線有關的作圖問題:
「給定一圓 作圓外一點對此圓的切線 以及 圓上一點對此圓的切線」.
特別的是, 他只能利用直尺而不能使用圓規.
下面我把尺規作圖以及只能用尺的作圖方法整理出來.


給定一圓 O 與圓外一點 A, 作 A 點對圓 O 的切線.
尺規作圖
圓外作切線1.jpg
作法:(1) 連 OA.
   (2) 作線段 OA 的中點 M. (這裡需用到圓規)
   (3) 以 M 為圓心 OM 為半徑作一圓, 與圓 O 交於 P_1, P_2 兩點. (這裡需用到圓規)
   (4) 作直線 AP_1 與 AP_2, 則這兩條直線即為所求.
原理:利用圓內接三角形, 若有一邊是直徑, 其對角為 90 度角.
只用直尺作圖
圓外作切線2.jpg
作法:(1) 過 A 作兩條圓 O 的割線, 其中一條交圓 O 於 B_1, B_2, 一條交 C_1, C_2.
   (2) 作直線 B_1C_1 與 B_2C_2, 令兩直線交點為 M.
   (3) 作直線 B_1C_2 與 B_2C_1, 令兩直線交點為 N.
   (4) 作直線 MN 與圓 O 交於 P_1, P_2 兩點.
   (5) 作直線 AP_1 與 AP_2, 則這兩條直線即為所求.
原理:點 A 對圓 O 的切點在 A 對圓 O 的配極線上.



給定一圓 O 與圓上一點 A, 作 A 點對圓 O 的切線.
尺規作圖
圓上作切線1.jpg
作法:(1) 作直線 OA.
   (2) 在 OA 上取一點 B, 使得 線段 OA 長 = 線段 OB 長. (這裡需要用到圓規)
   (3) 作線段 OB 的中垂線 L, 則 L 即為所求.
原理:半徑與切線垂直於切點.
只用直尺作圖 (老師給的作法)
圓上作切線2.jpg
作法:(1) 在圓 O 上取相異四點 B_1, B_2, B_3 與 B_4.
   (2) 作直線 AB_1 與 B_3C_4, 令兩直線交點為 P.
   (3) 作直線 AB_4 與 B_1B_2, 令兩直線交點為 Q.
   (4) 作直線 PQ.
   (5) 作直線 B_2B_3, 與直線 PQ 交於 R 點.
   (5) 作直線 AR, 則此直線即為所求.
原理:將 Pascal 原理六點中的兩點合併, 則原本過這兩點的直線可視為此圓的切線.
只用直尺作圖 (考試時某位學生的作法)
圓上作切線3.jpg
作法:(1) 過 A 作圓 O 的割線 L, 在 L 上取兩個在圓 O 外的點 B_1, B_2.
   (2) 作 B_1 對圓 O 的配極線 M_1. (淺藍色線為其過程)
   (3) 作 B_2 對圓 O 的配極線 M_2. (淺綠色線為其過程)
   (4) 令 M_1 與 M_2 交點為 P, 作直線 AP, 則此直線即為所求.
原理:利用「若點 B 過點 A 的配極線, 則點 A 亦會過點 B 的配極線」.
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  • 嵐
  • 讚!!!大有幫助,謝啦!!請再多發一些吧!!有沒有外公切線、內公切線及已知斜率的作圖??拜託了!!
  • "已知斜率的作圖"?
    一般的尺規作圖並不會放在座標平面上 這樣哪來的斜率?

    昌小澤 於 2011/01/20 22:29 回覆

  • 君君
  • 謝謝你提供的做圖:))
    受益良多ㄛ~thanks:D
  • Thank you, too!

    昌小澤 於 2011/09/26 23:27 回覆

  • 路人甲
  • 很棒的分享,感謝~