之前教高二排列組合時 有兩個地方當時我覺得教的很不好
一個是「環狀排列」 另一個就是「分組分堆」
不好講的地方在於 到底時麼時候要乘 n 階層 什麼時候要除 n 階層
或甚至 為什麼這裡要乘 n 階層 這裡卻要除 n 階層
有時候 連我自己都會搞不清楚狀況 還蠻糟糕的 ><

昨天 在幫童軍團學弟解題的時候 學弟拿了一個問題來問我
那是個機率的題目 不過重點還是在排列組合
我事後想一想 覺得這個題目拿來講分組分堆的概念還蠻不錯的
題目如下

小華 小明與其他八位同學要排這一週五天的值日生
每天從還沒有當過值日生的同學中找兩位擔任當天的值日生
請問 小華和小明同一天擔任值日生的機率是多少


先講答案 答案是
我在看到這個答案時 第一個反應是...
為什麼分母不用 x 5!?

很容易的 當看到 C 的時候 就很直覺得他只有「選取」的動作
反而很容易忘記 在「相乘」的時候 就已經包含了「排序」的動作
也就是說 像分母的部分 C(10,2) x C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) 可以解讀成
「第一天從十個人中選兩個人做值日生 第二天從剩下八人選兩人 ... 最後一天從剩下的兩人選兩人」
所以裡面已經包含了「把這五堆人按照順序選取」的動作了
(注意 x 的關係 這是根據「乘法原理」)

換句話說 如果我只是要把人分成五堆 (也就是不用管選取的順序) 那方法數就是
C(10,2) x C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 5!
把排序所造成的 5! 給拿掉

因此 分子的部分為什麼會這麼複雜 用這個方式來看就很清楚了
首先 小明跟小華已經在同一天了 所以就是剩下八個人先兩兩分成一堆
所以方法數是 C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 4! (因為沒有排序 故除以 4!)
接著 就是把這五組人排序來表示第一天到第五天 即得到
[C(8,2) x C(6,2) x C(4,2) x C(2,2) / 4!] x 5!





下面這題是高中常見的問題 一樣用這個方式來看 ^^

有 8 本不同的書本 求下列各分法得分法數
(1) 甲給 4 本 乙給 2 本 丙給 2 本
(2) 按照 4 本 2 本 2 本分成三堆
(3) 按照 4 本 2 本 2 本自由分給甲乙丙三人
很明顯的 每一題都一定會有 C(8,4) x C(4,2) x C(4,2) 的部分
現在的問題在於 哪些要多乘 n! 哪些要多除 m!

(1) 給書的過程是有順序的 「給甲 4 本 給乙 2 本 給丙 3 本」
所以答案直接是 C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)
(注意 x 的關係)

(2) 只是要分堆 所以是不用考慮順序的
只是問題來了 這裡是要除 3! 還是除 2! 呢?
其實這樣想 雖然說是分 3 堆 但還是有個「順序」出來: 「這 4 本一堆 剩下的 2 本一堆」
所以 只有後面那 2 本 2 本是沒有順序的 所以是除以 2!
即方法數為 C(8,4) x [C(4,2) x C(4,2) / 2!]

因此 如果把八本書按照 4 本 3 本 1 本 分成三堆
他的方法數還是 C(8,4) x C(4,3) x C(1,1) 並不需要除任何東西
因為4 本 3 本 1 本還是有順序在的!!

(3) 這題可以這樣看:
(甲給 4 本 乙給 2 本 丙給 2 本) + (乙給 4 本 丙給 2 本 甲給 2 本) + (丙給 4 本 甲給 2 本 乙給 2 本)
= [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)] + [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)] + [C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)]
= C(8,4) x C(4,2) x C(4,2) x 3

當然 不可能每一題都可以把所有的情況都列出來計算
所以來看一下這個 3 可以怎麼用算的把他算出來

[看法一] 把 4 本 2 本 2 本三張牌子在甲乙丙三人面前排成一列 把書分成 4 本 2 本 2 本分成三堆
這就是上面列的算是所用的想法
方法數: 3! / 2! x C(8,4) x C(4,2) x C(4,2)

[看法二] 先把書分成 4 本 2 本 2 本分成三堆 請甲乙丙三人書前站成一排
這樣會用到第 (2) 的結果
方法數: C(8,4) x [C(4,2) x C(4,2) / 2!] x 3!

將上面這兩個想法所得到的式子整理一下 就可以得到一般課本或參考書所給的答案
分書問題





那時教書 教到最後只好請學生直接把「結論」背下來 因為我真的也不知道要怎麼解釋才好
但當時如果有抓到 在「相乘」的時候 就已經包含了「排序」的動作 這個要點
應該就會比較容易來處理這樣的問題
不過 這只是我在回家路上自己想的 沒有實際在課堂上教過
那... 就當作是一個教學想法上的分享好了 ^^

昌小澤 發表在 痞客邦 PIXNET 留言(2) 人氣()


留言列表 (2)

發表留言
  • 猴子
  • 謝謝
    實在很受用
  • 謝謝你的支持

    昌小澤 於 2010/05/09 08:05 回覆

  • 璞ㄟ
  • 不好意思,我是目前在學的高三生,想請問一下

    雖然說是分 3 堆 但還是有個「順序」出來: 「這 4 本一堆 → 剩下的 2 本一堆」

    這句話的意思是什麼?

    分堆的前提是沒有順序的問題,那為什麼還有順序之分?
  • 主要的問題就是你所問的「分堆的前提是沒有順序的問題,那為什麼還有順序之分?」
    我這篇文章想要強調的是 解題時我們很容易把「順序」加入你的過程中但你不自覺
    例如你把四本書平分成兩堆 我們的想法都是「這2本一堆 這2本令一堆」
    故寫成C(4,2)*C(2,2)
    但為什麼是「先」挑這2本?這裡就出現「順序」了
    「我先把A,B這兩本書分在一堆 剩下的C,D一堆」
    跟 「我先把C,D這兩本書分在一堆 剩下的A,B一堆」
    在C(4,2)*C(2,2)的動作中是不同的 但對我們所要求的確是相同的
    而這個狀況的原因 就是C(4,2)*C(2,2)的做法中 隱藏了「順序」的動作在裡面
    所以我們才會除2!來把這個動作消除

    昌小澤 於 2011/12/05 14:14 回覆

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