今天在整理一些高中數學的資料時 遇到了這個證明: 根號 3 是無理數
這個證明並不難 只要是唸過高中的學生都會有印象
三民版的課本很好心 在前面給了一個先備的敘述
「設 n 為正整數. 若 n^2 是 3 的倍數, 則 n 也會是 3 的倍數.」
這個問題 讓我想起小時後的疑問.

先講一下這個敘述怎麼來證明
我們假設原敘述不正確 也就是說 n 不會是 3 的倍數
故 n 除以 3 可能餘 1 (表示成 3k + 1) 也可能餘 2 (表示成 3k + 2)
如果 n = 3k + 1 則 n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 不是 3 的倍數
如果 n = 3k + 2 則 n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 也不是 3 的倍數
因此 如果 n 不是 3 的倍數 n^2 就不可能是 3 的倍數 這和已知矛盾
所以 n 必須得是 3 的倍數

我小時後有兩個疑問
第一個 為什麼我們只要檢查 n 不是 3k + 1 不是 3k + 2 n 就一定是 3 的倍數
說不定 n^2 是 3 的倍數時 他也根本不會是 3 的倍數
你或許會說 代 n = 3 進來看就知道一定會有
但這也是你帶了才能肯定的阿 不然 我換個例子好了

我現在用上面的方法證明 「如果 n^2 除以 3 會餘 2, 則 n 會是 3 的倍數」
直接 copy 改一改就行了
我們假設原敘述不正確 也就是說 n 不會是 3 的倍數
故 n 除以 3 可能餘 1 (表示成 3k + 1) 也可能餘 2 (表示成 3k + 2)
如果 n = 3k + 1 則 n^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 除以 3 不會餘 2
如果 n = 3k + 2 則 n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 除以 3 也不會餘 2
因此 如果 n 不是 3 的倍數 n^2 除以 3 就不可能餘 2 這和已知矛盾
所以 n 必須得是 3 的倍數 得証

這個證明沒問題吧
但是 你可以試試看
你找得到一個 n 是 3 的倍數 但 n^2 除以 3 會餘 2 嗎?
很明顯 根本不可能 那我們上面的證明是怎麼一回事?

第二個 因為題目要我們證明 " n 是 3 的倍數" 所以我們去檢查 3k + 1 與 3k + 2 不對
那是不是題目要我們證明 " n 是 3k 與 3k + 1" 我們就只要檢查 3k + 2 就可以?
看不懂我的問題 那我完整的寫一下好了

如果題目是
「設 n 為正整數. 若 n^2 是 3 的倍數, 則 n 也會是 3 的倍數或除以 3 會餘 1.」
證明 一樣 copy 過來改一改就可以了
我們假設原敘述不正確 也就是說 n 不會是 3 的倍數也不會除以 3 後餘 1
故 n 除以 3 一定得餘 2 (表示成 n = 3k + 2)
此時 n^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 不是 3 的倍數
因此 如果 n 不是 3 的倍數或除以 3 會餘 1, n^2 除以 3 就不可能餘 2 這和已知矛盾
所以 n 必須得是 3 的倍數或除以 3 餘 1 得証

同樣的 你找得到一個 n 是除以 3 會餘 1 但 n^2 會是 3 的倍數嗎?
也是很明顯的 這根本不可能
因此 回想最原本的那個敘述 最原本的那個證明 真的對嗎? 還是我多慮了?
(不過高中的時候 應該就直接認定是後者吧... 高中生沒有什麼判斷的能力)



經過了大學 研究所 再使用反証法時再也沒有想過類似的問題 或許是已經麻木了吧
現在再想起這個問題 驚覺
過了這麼久 我竟然沒有解決這兩個問題 而且我竟然是想到這兩個問題才想起小時後就有這樣的疑問
我得仔細想想
(為了讓有興趣的朋友也一起想想 所以這兩段之間 我把他空得開一些...)



















真的想清楚了 才發現 其實只是邏輯上的問題
先講答案 這三個證明都是對的 這三個敘述也都是對的 後面那兩個要大家找的東西也都是找不到的
那問題出在哪裡? 問題出在後面兩個敘述裡 都藏有邏輯上的陷阱

第一個敘述 「如果 n^2 除以 3 會餘 2, 則 n 會是 3 的倍數」
我們真的證明了他是對的 但也真的找不到符合這個情形的狀況 好像矛盾了
但是 就邏輯上來說 「要前提是對的 才會有後面的結果
換去話說 「如果前提假設一開始就不可能發生 後面怎麼說都沒有關係」
用兔寶寶的講法 就叫做「不戰勝」 也就是你找不到任何一的對手 (就是 n^2 除以 3 會餘 2) 可以來反駁我
如果真的要說 就是我們去證明了一個一點義意也沒有的事情 因為他根本不會發生

第二個敘述 「設 n 為正整數. 若 n^2 是 3 的倍數, 則 n 也會是 3 的倍數或除以 3 會餘 1.」
一樣我們證明了他是對的 但也真的找不到任何一個 n^2 是 3 的倍數但 n 除以 3 會餘 1 又是個矛盾的狀況
但邏輯上說了 「或」的意思是 只要兩者有一個是正確的 這個敘述就是正確的
舉個例子 如果我說「若 n^2 是 3 的倍數, 則 n 也會是 3 的倍數或除以 3 會餘 1 或除以 3 會餘 2.」
n 也會是 3 的倍數或除以 3 會餘 1 或除以 3 會餘 2 這不就表示「n 就是個整數」 那上面的敘述 正確吧!
如果真的要說 就是在寫這個敘述時沒有想清楚 找了一個比較大的集合來當作答案



想清楚了之後 我很震驚
一來 這只不過是邏輯上的問題 竟然困擾了我這麼久
二來 今年寒假數學營 才做過邏輯 還特別去強調這兩個邏輯上要注意的事情 但自己犯了卻不自知
三來 回過頭看上次數學營設計的課程 當時問了要找例子花了很多時間 但現在看來根本沒有命中要點
  原來 我對邏輯根本還沒有很深刻的理解 而這兩個問題 讓我對這兩個邏輯上的敘述有了很深刻的反省
四來 如果在高中 我問老師這個問題 他會怎麼回答我?
  現在如果我的學生這樣問我 我要怎麼回答他? 還是會不會根本就不會有學生有這樣的問題?

我開始能夠體會為什麼高中的 87 課綱要把邏輯擺進課程裡了...

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