昌小澤的秘密基地

記得前年實習的時候 被學生問到一個問題
這是某個學校的段考題 一題是非題
「因為 (4 + 3i) - (2 + 3i) = 2 > 0
　所以 (4 + 3i) > (2 + 3i)」
我記得當時看到時 一整個給他傻眼
的確 「a - b > 0 <=> a > b」 這是我們很常用來證明兩數大小的方法
但是 「複數不能比大小」 這又是一定要知道的常識
那... 問題出在哪裡呢???

一個很簡單的原因
因為 「a - b > 0 <=> a > b」 這件事是在 "實數系" 下才會成立
也就是說 a, b 都要是 "實數" 這個敘述才會是正確的

講到 "實數" 就想到一個以前聽到的笑話
這是一則真實的故事 因為就發生在某本翻譯的數學科普書上
這也告訴我們 真的隔行如隔山阿 ><
他把 nature number (自然數/正整數) 翻譯成 「自然的數」 (這...還算有矇到邊啦)
rational number (有理數) 翻譯成 「有道理的數」 (這要跟下面的一起看)
irrational number (無理數) 翻譯成 「沒有道理的數」 (阿勒...)
(其實我們現在用的翻譯也有問題 正確的說法應該是 「可公約數」 與 「不可公約數」)
real number (實數) 翻譯成 「真的數」 (不然有假的數喔!!)
complex number (複數) 翻譯成 「複雜的數」 (最好他複雜啦)
然後我就開玩笑的說 那我們在唸的 「實變數函數分析」 不就變成 「真的分析」 了 ><
(實變數函數分析 = real analysis = 真的分析 @@?)

回到主題
為什麼複數不能比大小呢?
我可以定說 例如 「先比實部 實部大的就是大數 如果一樣的話 再來比虛部」
所以 (4 + 3i) > (2 + 3i) 因為實部的 4 比 2 大
(2 + 4i) > (2 + i) 因為實部相同 但虛部 4 > 1
(9 + 2i) > (4 + 8i) 因為實部 9 > 4
把這三個式子用 「a - b > 0 <=> a > b」 檢驗
可以發現都符合這樣的結果
那為什麼不這樣定他們的大小關係呢?
這是我今年教這個部分時被問到的問題

剛好上個星期去聽系上辦的演講 李恭晴教授講有關複數的東西
當中有一段就是提到這件事情 完整個講稿請按這裡
但因為當中用到了 「有序集」 「有序體」 等比較 "高等" 的名詞 (其實你不理他 你還是看得懂)
所以我在這裡簡單的解釋一下

如果單純只看複數這些「數字」 我們是可以幫他定大小關係的
例如上面的定義方式 這是沒有問題的 我們是真的可以這樣做的
但如果我們把「複數的運算」給考慮進來 就要小心了
這句話是什麼意思? 就是不要經過加減乘除之後 產生了不合理情形

真的會這樣嗎? 我們來看看
由上面關於複數比大小的方法 我們可以得到 i > 0 (實部都是 0 虛部 1 > 0 故 1i > 0i )
現在 我們在兩邊同時乘上 i 這個數 得到 i * i > 0 * i => -1 > 0
我們得到一個很恐怖的結果: -1 比 0 還要大 一個很明顯錯誤!!
所以 這樣的比大小方式是有問題的

當然 我們不能一竿子打翻一艘船
說不定有真的可以用的比大小方式存在 只是我們還沒有找到
由上面知道 只要我的比大小方法中 會讓「 i > 0 」的話 都會得到上面的矛盾結果
因此 我們考慮會讓「 i < 0 」的方法
一樣 我們在兩邊同時乘上 i 這個數 得到 i * i > 0 * i => -1 > 0
(這裡注意到 因為 i < 0 所以乘上一個比 0 小的數 大於小於符號要變號!!)
一樣會得到 -1 比 0 大這個很明顯錯誤的答案
因此 所有會讓「 i < 0 」的比大小方法也是不能用的
最後就只剩下「 i = 0 」了 但是 如果 i = 0 => i * i = -1 = 0 這更是誇張了
沒有任何一個比大小的方式 能讓我們在做了運算之後還是正確的
所以我們說 「如果把複數的運算考慮進來的話 我們無法去定義複數的大小關係」

所以 當我們在說「複數不能比大小時」 其實是在考慮了「複數的運算」之下所得到的結論
如果完全不管運算 複數的大小關係就由你自己來定囉 (但還是要合理才行阿~~~)