昌小澤的秘密基地

<題目> 已知 a < b < c 且
a + b + c = 2,
a^2 + b^2 + c^2 = 14,
a^3 + b^3 + c^3 = 20,
試求 a , b , c 的值

在之前 如果我看到這個問題的話 應該會連想都不想直接跳過
但今天在獨數的 math 板看到 yclin 老師的解法
驚為天人!!! 一定要好好自己玩一下才行
(不過老師做的是四元四次 我偷懶 三元三次就好了)

Step 1
考慮 ( a^2 + b^2 + c^2 ) = ( a + b + c )^2 - 2 * ( ab + ac + bc )
所以 2 * ( ab + ac + bc ) = ( a + b + c )^2 - ( a^2 + b^2 + c^2 ) = 4 - 14 = -10
=> ab + ac + bc = -5

Step 2
考慮 ( a^3 + b^3 + c^3 ) = ( a^2 + b^2 + c^2 )( a + b + c ) - ( a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b )
[如果你沒看過這個做法 你會想到把三次式做這樣的分解嗎? 我不會!]
所以 ( a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b ) = ( a^2 + b^2 + c^2 )( a + b + c ) - ( a^3 + b^3 + c^3 ) = 14 * 2 - 20 = 8
又 ( a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b ) = ( ab + ac + bc )( a + b + c ) - 3 * abc
所以 3 * abc = ( ab + ac + bc )( a + b + c ) - ( a^2 b + a^2 c + b^2 a + b^2 c + c^2 a + c^2 b ) = ( -5 ) * 2 - ( 8 ) = -18
=> abc = -6

根據根與係數關係可以知道
以 a , b , c 為三根的方程式為 x^3 - ( a + b + c ) x^2 + ( ab + bc + ac ) x - abc = 0
[沒錯 上面那兩個步驟的目的就是要在這裡使用根與係數關係 這是讓我感到驚艷的地方]
=> x^3 - ( 2 ) x^2 + ( -5 ) x - ( -6 ) = 0 的三根為 a , b , c
=> x^3 - 2 x^2 - 5 x - 6 = 0 的三根為 a , b , c
因式分解得到 x^3 - 2 x^2 - 5 x - 6 = ( x - 1 )( x + 2 )( x - 3 ) = 0
故方程式的三根為 1 , -2 , 3
又 a < b < c 所以 a = -2 , b = 1 , c = 3 #

很漂亮的做法吧!
把高次的東西用低次已知的東西替換掉
而替換出來的結果恰好可以使用於根與係數關係上
這就是數學有趣的地方阿

那...如果把這樣的做法拿來處理這種國中問題
[雖然說是國中問題 但很多高中生還是不會做...]
a + b = 3, a^2 + b^2 = 5, 求 a 和 b 的值
應該不失為另一種方法吧...
會不會有種「殺雞用牛刀」的感覺?