每一天 總會在世界的某個角落裡產生新的數學 不論是符號 定義 或定理
但能經過時間考驗而留下來的卻是有限的
一是這樣的東西後來被證明是錯誤的 所以被淘汰了
一是這樣的東西不方便被使用 或甚至沒有實際用途 所以被大家給遺忘了
別忘了 「數學，始終來自於有用」
=========================從「乘法」來的idea=========================
就拿我們所熟悉乘法來說 你有沒有想過
「乘法是在一個怎樣的情況之下被創造出來的?」「乘法的發明 為我們帶了怎樣的方便?」
試著想想看 如果沒有乘法會發生什麼事?
就像升旗朝會 大家排排站站 10個人一排站好 排成好幾排
這時候只見教官手上拿著一本冊子 每經過一排就在冊子上寫下一個10
從頭走到尾 冊子上寫著 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
接著再來慢慢加 得到總共有...我算算...210人
呼...不只寫的人辛苦 看的人更是辛苦 千萬不能漏看或多看 這可事會差很多的!!
但如果換個想法
反正每排都是10個人 那我就只要數有幾排學生就好了
數過之後得到21排 所以總人數就是 「10 自己加 21 遍」
數學家把他寫成 「10 x 21」 不僅好算 看個人一眼就明白到底有多少的人 完全不會弄錯
當然 之後乘法的功能就被擴充了 他可以乘負數 乘分數 乘無理數
雖然這些無法在用「把自己加多少遍」來解釋
但我們給了他新的意義 而這新的意義還是廣泛的被大家使用
=========================終於要談到「指數」了=========================
當乘法被大家廣泛使用之後 接著而來的是令一個問題
大家有存錢的習慣嗎?
把錢存在銀行許多好處 一是錢沒在手上所以比較不會亂花錢
二是有利息可以賺 雖然不多 但有總比沒有好
現在已知某個銀行存款的月利率是0.5% 以複利計算
如果我們存入1000元 那三個月後就可以得到 1000 x 1.005 x 1.005 x 1.005 元
一年後就有 1000 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 元
那五年後就有...嗯...可不可以不要寫 因為要寫60個1.005 很長耶 orz
所以囉 跟乘法一樣 我們需要一個東西來幫我們表示 「1.005 自己乘 60 遍」
因此 數學家發明了一個符號 1.005 ^ 60 來表示「1.005 自己乘 60 遍」
所以如果我們寫 a ^ b 這表示「a 自己乘 b 遍」
這整個稱為「指數型式」 a 稱為「底數」 b 稱為「指數」
=========================「指數律」要掀簾子見客囉=========================
數學家不會因為有了新符號而自滿 別忘了 「數學，始終來自於有用」
如果他在使用上不方便 那還不如不要這個東西 越搞越麻煩不是我們希望見到的
所以就看看他在運算上有沒有些特別的地方
(1) 如果兩個數的底數相同時 我把這兩個數拿來相乘 可以看成直接把指數相加
用數學符號寫就是 (a ^ m) x (a ^ n) = a ^ ( m + n )
用實際例子寫就是 ( 2 ^ 3 ) x ( 2 ^ 5 ) = 2 ^ ( 3 + 5) = 2 ^ 8
而 8 x 32 的確等於 256
理由是 a ^ m 表示「a 自己乘 m 次」 a ^ n 表示有「a 自己乘 n 次」
先在把他們乘在一起 ( a 自己乘 m 次 ) 乘上 ( a 自己乘 n 次 )
那現在到底 a 自己乘了幾次? 很明顯的 ( m + n ) 次 所以得到 a ^ ( m + n )
(2) 如果一個數已經是 a 自乘 m 次的結果 如果把這樣的數再自乘 n 次 可以看成 a 自乘 m x n 次
用數學符號寫就是 (a ^ m) ^ n = a ^ ( m x n )
用實際例子寫就是 ( 2 ^ 3 ) ^ 4 = 2 ^ ( 3 x 4 ) = 2 ^ 12
而 2 ^ 3 = 8 的 4 次方的確等於 4096 = 2 ^ 12
理由是 a ^ m 表示「a 自己乘 m 次」 故 (a ^ m) ^ n 表示「(a ^ m) 自己乘 n 次」
表示「a 自己乘 m 次」要做 n 次 故可以知道 a 自己乘了 ( m x n ) 次
(3) 如果有兩個數的指數相同時 把這兩個數拿來相乘 可以把指數提出來先乘底數
用數學符號寫就是 (a ^ m) x ( b ^ m ) = ( a x b ) ^ m
用實際例子寫就是 ( 2 ^ 3 ) x ( 3 ^ 3 ) = ( 2 x 3 ) ^ 3 = 6 ^ 3 = 216
而 8 x 27 的確等於 216 = 6 ^ 3
理由是 a ^ m 表示「a 自己乘 m 次」 b ^ m 表示有「b 自己乘 m 次」
既然兩個都要乘 m 次 還不如先把 a 和 b 乘起來在一起乘 m 次
而這樣做並不會減少兩者自成的次數 故會相等
眼尖的人應該馬上看出來 這三點就是有名的「指數律」
而指數律就是建構起整個指數之所以會有用的關鍵
也是之後 我們把指數從自然數推廣到其他數體的關鍵
沒錯! 跟乘法一樣!
不要以為 a ^ b 是指「a 自己乘 b 遍」 b 就一定得是正整數
那「a 自己乘 -5 遍」 「a 自己乘 3/2 遍」 「a 自己乘根號2遍」 這些到底是什麼意思阿?
預知詳情 請待下回分解囉 ^^
但能經過時間考驗而留下來的卻是有限的
一是這樣的東西後來被證明是錯誤的 所以被淘汰了
一是這樣的東西不方便被使用 或甚至沒有實際用途 所以被大家給遺忘了
別忘了 「數學，始終來自於有用」
=========================從「乘法」來的idea=========================
就拿我們所熟悉乘法來說 你有沒有想過
「乘法是在一個怎樣的情況之下被創造出來的?」「乘法的發明 為我們帶了怎樣的方便?」
試著想想看 如果沒有乘法會發生什麼事?
就像升旗朝會 大家排排站站 10個人一排站好 排成好幾排
這時候只見教官手上拿著一本冊子 每經過一排就在冊子上寫下一個10
從頭走到尾 冊子上寫著 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10
接著再來慢慢加 得到總共有...我算算...210人
呼...不只寫的人辛苦 看的人更是辛苦 千萬不能漏看或多看 這可事會差很多的!!
但如果換個想法
反正每排都是10個人 那我就只要數有幾排學生就好了
數過之後得到21排 所以總人數就是 「10 自己加 21 遍」
數學家把他寫成 「10 x 21」 不僅好算 看個人一眼就明白到底有多少的人 完全不會弄錯
當然 之後乘法的功能就被擴充了 他可以乘負數 乘分數 乘無理數
雖然這些無法在用「把自己加多少遍」來解釋
但我們給了他新的意義 而這新的意義還是廣泛的被大家使用
=========================終於要談到「指數」了=========================
當乘法被大家廣泛使用之後 接著而來的是令一個問題
大家有存錢的習慣嗎?
把錢存在銀行許多好處 一是錢沒在手上所以比較不會亂花錢
二是有利息可以賺 雖然不多 但有總比沒有好
現在已知某個銀行存款的月利率是0.5% 以複利計算
如果我們存入1000元 那三個月後就可以得到 1000 x 1.005 x 1.005 x 1.005 元
一年後就有 1000 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 x 1.005 元
那五年後就有...嗯...可不可以不要寫 因為要寫60個1.005 很長耶 orz
所以囉 跟乘法一樣 我們需要一個東西來幫我們表示 「1.005 自己乘 60 遍」
因此 數學家發明了一個符號 1.005 ^ 60 來表示「1.005 自己乘 60 遍」
所以如果我們寫 a ^ b 這表示「a 自己乘 b 遍」
這整個稱為「指數型式」 a 稱為「底數」 b 稱為「指數」
=========================「指數律」要掀簾子見客囉=========================
數學家不會因為有了新符號而自滿 別忘了 「數學，始終來自於有用」
如果他在使用上不方便 那還不如不要這個東西 越搞越麻煩不是我們希望見到的
所以就看看他在運算上有沒有些特別的地方
(1) 如果兩個數的底數相同時 我把這兩個數拿來相乘 可以看成直接把指數相加
用數學符號寫就是 (a ^ m) x (a ^ n) = a ^ ( m + n )
用實際例子寫就是 ( 2 ^ 3 ) x ( 2 ^ 5 ) = 2 ^ ( 3 + 5) = 2 ^ 8
而 8 x 32 的確等於 256
理由是 a ^ m 表示「a 自己乘 m 次」 a ^ n 表示有「a 自己乘 n 次」
先在把他們乘在一起 ( a 自己乘 m 次 ) 乘上 ( a 自己乘 n 次 )
那現在到底 a 自己乘了幾次? 很明顯的 ( m + n ) 次 所以得到 a ^ ( m + n )
(2) 如果一個數已經是 a 自乘 m 次的結果 如果把這樣的數再自乘 n 次 可以看成 a 自乘 m x n 次
用數學符號寫就是 (a ^ m) ^ n = a ^ ( m x n )
用實際例子寫就是 ( 2 ^ 3 ) ^ 4 = 2 ^ ( 3 x 4 ) = 2 ^ 12
而 2 ^ 3 = 8 的 4 次方的確等於 4096 = 2 ^ 12
理由是 a ^ m 表示「a 自己乘 m 次」 故 (a ^ m) ^ n 表示「(a ^ m) 自己乘 n 次」
表示「a 自己乘 m 次」要做 n 次 故可以知道 a 自己乘了 ( m x n ) 次
(3) 如果有兩個數的指數相同時 把這兩個數拿來相乘 可以把指數提出來先乘底數
用數學符號寫就是 (a ^ m) x ( b ^ m ) = ( a x b ) ^ m
用實際例子寫就是 ( 2 ^ 3 ) x ( 3 ^ 3 ) = ( 2 x 3 ) ^ 3 = 6 ^ 3 = 216
而 8 x 27 的確等於 216 = 6 ^ 3
理由是 a ^ m 表示「a 自己乘 m 次」 b ^ m 表示有「b 自己乘 m 次」
既然兩個都要乘 m 次 還不如先把 a 和 b 乘起來在一起乘 m 次
而這樣做並不會減少兩者自成的次數 故會相等
眼尖的人應該馬上看出來 這三點就是有名的「指數律」
而指數律就是建構起整個指數之所以會有用的關鍵
也是之後 我們把指數從自然數推廣到其他數體的關鍵
沒錯! 跟乘法一樣!
不要以為 a ^ b 是指「a 自己乘 b 遍」 b 就一定得是正整數
那「a 自己乘 -5 遍」 「a 自己乘 3/2 遍」 「a 自己乘根號2遍」 這些到底是什麼意思阿?
預知詳情 請待下回分解囉 ^^
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